Question

设随机变量X与Y相互独立，且X~N(0，1)，Y~N(1，4)。 (1) 求二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y).

设随机变量X与Y相互独立，且X~N(0，1)，Y~N(1，4)。 (1) 求二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y).
应该用①f(x,y)=fX(x)fY(y)这个公式还是用
②f(x,y)=f(x)f(y)这个公式呢？（请问②公式是怎么得出来的呢？）
这两个公式分别是什么意思呢？这两个公式有什么区别么？分别应该在什么地方用啊？

Answer 1

fX(x)表示X的概率分布函数，f(x)表示X的概率密度函数
两者的关系是分布函数的导数为密度函数！
因为题目要求的是概率密度f(x,y)，所以应该用的是第②个公式，用概率密度函数的乘积！
两个函数的关系是这样的
fX(x)=P(X≤x)=∫[-∞,x] f(t)dt
两者都可以求概率，只是用法不一样而已，分布函数的函数值即为概率，而概率密度的积分值才表示概率！
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

追问

不是应该用FX（x)表示为X的边缘分布函数而用fX(x)表示概率密度函数么

追答

对的，对于多维连续型随机变量而言，FX（x)表示为X的边缘分布函数，而用fX(x)表示X的边缘概率密度函数，而对于一维连续型随机变量而言，FX（x)表示为X的分布函数，而用fX(x)表示概率密度函数。

追问

书上用的是F（x)和f(x)来表示 一维连续型随机变量 的呢。请问这和FX（x)，fX(x)表达的意思是一样的么？

追答

不一样，F(x)表示分布函数，f(x)表示概率密度函数，关系如上面说的。其中分布函数是每个随机变量都有的，而概率密度函数只有连续性随机变量才有！

Answer 2

应该用①f(x,y)=fX(x)fY(y)这个公式

②公式是怎么得出来的呢？②只适用于独立同分布的情况，f(x)是随机变量X的密度函数