Question

22．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的长； （2）求证：AM=DF+ME．

Answer 1

原图：

画完辅助线图

　　

　　解题类型：截长补短法

1. 解析：延长DF,BA交于G，可证△CEM≌△CFM, △CDF≌△BGF,通过线段的简单运算，即可求得。

　　答案：（1）∵四边形ABCD是菱形

　　∴CB=CD,AB∥CD

　　∴∠1=∠ACD ,

　　∵∠1=∠2

　　∴∠2=∠ACD

　　∴MC=MD

　　∵ME⊥CD

　　∴CD=2CE=2

　　∴BC=CD=2

　　(2) 延长DF,BA交于G

　　∵四边形ABCD是菱形

　　∴∠BCA=∠DCA ,

　　∵BC=2CF,CD=2CE

　　∴CE=CF

　　∵CM=CM

　　∴△CEM≌△CFM,

　　∴ME=MF

　　∵AB∥CD

　　∴∠2=∠G, ∠GBF=∠BCD

　　∵CF=BF

　　∴△CDF≌△BGF

　　∴DF=GF

　　∵∠1=∠2, ∠G=∠2

　　∴∠1=∠G

　　∴AM=GM=MF+GF=DF+ME

　　利用三角形全等来解决线段的有关问题是常见的思考方法，遇到中点延长一倍，是常见的辅助性做法。

若有疑问，欢迎追问！！

希望能帮到你！谢谢！

Answer 2

(1)因为AC是菱形ABCD的对角线，
所以角ACE=角1
又因为角1=角2，
所以角ACE=角2，
又因为
ME垂直于CD ，CE=1，所以BC=CD=2

Answer 3

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