Question

数学题，求解答！

Answer 1

1.cos4x在x=0处的带皮亚诺余项展开
cos4x=1–8x²＋o(x²)
lim(x–>0) (cos4x)^(1/x²)
=lim(x–>0) [(1–8x²)^(1/(–8x²))]^(–8)
=e^(–8)
2.f(x)=x²/2＋5x–6lnx
f'(x)=x＋5–6/x=(x²＋5x–6)/x＜0
0＜x＜1
所以f(x)在(0，1)上单调递减
3.f(x)=2x^4–3x²＋20x＋5
f'(x)=8x³–6x＋20
f''(x)=24x²–6＜0
x∈(–1/2，1/2)
4.设距原点最近的点为A(a，20–3a)
kOA=(20–3a)/a=1/3
a=6
所以距离原点最近的点为(6，2)

5.设BP=x，则AP=15–x

tanθ=–tan(∠BPC＋∠APD)

=–(tan∠BPC＋tan∠APD)/(1–tan∠BPC·tan∠APD)

=–[1/x＋9/(15–x)]/[1–1/x ·9/(15–x)]

=(8x＋15)/(x²–15x＋9)

=(8x＋15)/[(8x＋15)²/64–75/32 (8x＋15)＋2601/64]

=1/[(8x＋15)/64＋2601/[64(8x＋15)]–75/32]

(8x＋15)/64＋2601/[64(8x＋15)]∈[51/32，471/160)

tanθ∈(–∞，–4/3]∪(5/3，＋∞)

θ∈(arctan(5/3)，arctan(–4/3)]

当(8x＋15)/64=2601/[64(8x＋15)]时，即8x＋15=51，x=9/2时，θ取得最大值

此时AP=15–x=15–9/2=10.5

6.减速加速度为a

0=80–at

s=80t–1/2 at²

=80²/a–1/2 a·80²/a²

=3200/a≤160×10^(–3) km

a≥20000km/h²

减速加速度至少要20000km/h²才能避免连环碰撞。

7.g'(θ)=7cosθ–3sinθ

两边积分得g(θ)=7sinθ＋3cosθ＋C

g(0)=3＋C=6

C=3

所以g(θ)=7sinθ＋3cosθ＋3

g(π)=7·0＋3·(–1)＋3=0

Answer 2