Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y= 23x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x= 52上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

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Answer 1

下次请把题目打清楚，抛物线的方程应该是y=2X²/3+bx+C吧。
（1）Y=2X²/3+bx+C=2/3*（X²+3bX/2）+C=2/3*(X+3b/4）²+C-（9b²/16）
得出抛物线的对称轴为X=-3b/4=5/2 所以b=-10/3
又抛物线过点B（0.4） 所以C=4
所以抛物线的方程为Y=（2X²/3）-（10X/3）+4
（2）∵ABCD为菱形，且AB=√（3²+4²）=5 则BC=5
则△ABO的平移距离为5，可以推出C点坐标为（5.4） D点坐标为（2，0）E点坐标为（5.0）
将C点坐标代入抛物线方程
左边=4 右边=4 左边=右边，则C点在抛物线上
将D点代入抛物线方程
左边=0 右边=0 左边=右边，则D点在抛物线上
（3）连接PC，则可以得出PC=PB
△PBD的周长L=PB+PD+BD=PC+PD+BD
因为PC+PD≥CD恒成立，所以当PC+PD=CD的时候，L取的最小值
即P点为CD和对称轴的焦点，CD所在直线方程为y=（4X/3）-（8/3）
则P点的方程为（5/2，2/3）
（4）取G点（5/2，0）则四边形MOGP为一个等腰梯形。
由（2）可以推出BD所在直线的斜率K=-2 ∵MN∥BD，所以MN所在直线的斜率K。=-2 又OM=t
∴ON=t/2 则NG=（5-t）/2
△NPG的面积S1=1/2*（5-t）/2*2/3=（5-t）/6
△OMN的面积S2=1/2*t*t/2=t²/4
梯形MOGP的面积S=1/2*（t+2/3）*5/2=（5t/4）+（5/6）
则△PMN的面积S3=S-S1-S2=（17t-3t²）/12 (0＜t＜4）
令f（t）=17t-3t²=-3*【t²-（17/3）*t】=-3*【t-（17/6）】²+（289/12）
要令S3取得最大值，则需f（t）取得最大值，当t=17/6时，f（t）取得最大值289/12
此时S3=289/144 M点的左边卫【0，（17/6）】

可能数字计算错误，但是方法没有错，希望采纳，花了一个多小时帮你坐的哦。