Question

1^2+2^2+...+(n-1)^2=n(n-1)(2n-1)/6怎么来的

Answer 1

(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+3^2+....+(n-1)^2=n(n+1)(2n+1)/6-n^2
1^2+2^2+3^2+....+(n-1)^2=n/6(2n^2+n+2n+1-6n)
1^2+2^2+3^2+....+(n-1)^2=n/6(2n^2-3n+1)
1^2+2^2+3^2+....+(n-1)^2=n(n-1)(2n-1)/6