Question

lim[(m/1-x^m)-(n/1-x^n)](x趋于1)

lim[(m/1-x^m)-(n/1-x^n)](x趋于1)中-L-Lx-....-Lx^(m-1)+mx^m+mx^(m+1)+...+mx^(m+L-1)=-(1-x)[mx^(m+L-2)+2mx^(m+L-3)+。。。+mLx^(m-1)怎么转换的。其中设L+m=n... lim[(m/1-x^m)-(n/1-x^n)](x趋于1)中 -L- Lx - ....-Lx^(m-1)+mx^m+mx^(m+1)+...+mx^(m+L-1) =-(1-x)[mx^(m+L-2)+2mx^(m+L-3)+。。。+mLx^(m-1) 怎么转换的。其中设L+m=n 展开

Answer 1

这里应该是错误的，这个极限可以先通分，然后用洛必达法则求解
考虑m和n都不为0的情况
m/(1-x^m)-n/(1-x^n)
=
(m-mx^n-n+nx^m)/(1-x^m-x^n+x^(m+n))
洛必达法则
=
mn
(x^(m-1)-x^(n-1))
/
((m+n)x^(m+n-1)-mx^(m-1)-nx^(n-1))
洛必达法则
=
mn
[(m-1)x^(m-2)
-
(n-1)x^(n-2)]
/
[(m+n)(m+n-1)x^(m+n-2)-m(m-1)x^(m-2)
-
n(n-2)x^(n-2)]代入x=1
=mn(m-n)
/
2mn
=(m-n)/2