判断一反常积分敛散性？如果收敛求其值。最好详细点
∫(0到+∞)e^-x^2dx用lim[x趋于+∞]xe^-x^2判断可以吗？不会求这个极限。...
∫ (0到+∞)e^-x^2dx
用lim[x趋于+∞]xe^-x^2 判断可以吗？不会求这个极限。 展开
用lim[x趋于+∞]xe^-x^2 判断可以吗？不会求这个极限。 展开
2个回答
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这是泊松积分的1／2，泊松积分的值是π^(1/2)，所以这个积分的值是
(1/2)π^(1/2)
证明过程
(∫(∞，-∞)exp(-x^2) dx)*(∫(∞，-∞) exp(-x^2) dx) 把(∫(∞，-∞)exp(-x^2) dx)乘上自己
=(∫∞，-∞exp(-x^2) dx)*(∫(∞，-∞) exp(-y^2) dy) 积分与变量选取无关，第二个里面的x换成y
得到二重积分
化为极坐标下积分
原式=∫∫(∞，-∞)exp(-x^2-y^2) dxdy
=∫2π,0 dt∫(∞,0) exp(-r^2)rdr
=2π*1/2=π
开方
推出∫(∞，-∞) exp(-x^2) dx = π^(1/2)
(1/2)π^(1/2)
证明过程
(∫(∞，-∞)exp(-x^2) dx)*(∫(∞，-∞) exp(-x^2) dx) 把(∫(∞，-∞)exp(-x^2) dx)乘上自己
=(∫∞，-∞exp(-x^2) dx)*(∫(∞，-∞) exp(-y^2) dy) 积分与变量选取无关，第二个里面的x换成y
得到二重积分
化为极坐标下积分
原式=∫∫(∞，-∞)exp(-x^2-y^2) dxdy
=∫2π,0 dt∫(∞,0) exp(-r^2)rdr
=2π*1/2=π
开方
推出∫(∞，-∞) exp(-x^2) dx = π^(1/2)
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追问
具体怎么判断的 怎么算的 能说下吗？
追答
我已经补充了证明过程，你看一下
这是个重要的结论，直接记住就行了。是可以直接用的。
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