Question

在梯形ABCD中,AD平行于BC,E为BC的中点,BC等于2AD,EA=ED=2，AC与ED相交于点F求证AB垂直于AC时，AECD是菱形

还有菱形的面积

Answer 1

因为E为AB中点，所以BE=EC,
BC等于2AD,所以AD=EC
AD平行于BC，ADCE是平行四边形
因为AE=ED，ADCE是菱形，角DAE为60度，角DAC=CAE=30度
因为AD平行等于BE，所以ADEB是平行四边形，AB=DE
AB=DE=BE,等边三角形，角EAB为60D度，角CAB90度，垂直

Answer 2

证明：
因为AD ‖ BC,AD=1/2BC=BE=EC
所以四边形ABED与四边形AECD都是平行四边形（依据：一组对边平行且相等）
所以AB ‖ DE,AC与DE 互相平分
又因为AB⊥ AC
所以DE⊥ AC,
又因为AC与DE 互相平分
所以四边形AECD是菱形（依据：对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
2）因为DE=2
所以EF=1/2DE=1
又因为AE=2
在直角三角形AEF中，利用勾股定理可求AF=√3，
所以AC=2AF=2√3
所以菱形面积=1/2*AC*DE=1/2*2√3*2=2√3

Answer 3

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠DEC=∠AEB，
又∵EB=EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
∴AB=ED，
∵AB⊥AC，
∴AE=BE=EC，
∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，
∵AE=BE=AB=2，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴AG=根号3，
∴S菱形AECD=EC•AG=2×根号3=2根号3