Question

如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设 =k，下列结论：（1）△AB

如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设 =k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（　　） A．（1）（2）（3） B．（1）（3） C．（1）（2） D．（2）（3）





Answer 1

C

试题分析：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵EF⊥AE， ∴∠AEB+∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC， ∴△ABE∽△ECF； 故（1）正确； （2）∵△ABE∽△ECF， ∴ ， ∵E是BC的中点， 即BE=EC， ∴ ， 在Rt△ABE中，tan∠BAE= ， 在Rt△AEF中，tan∠EAF= ， ∴tan∠BAE=tan∠EAF， ∴∠BAE=∠EAF， ∴AE平分∠BAF； 故（2）正确； （3）∵当k=1时，即 =1， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD， ∵△ABE∽△ECF， ∴ ， ∴CF= CD， ∴DF= CD， ∴AB：AD=1，BE：DF=2：3， ∴△ABE与△ADF不相似； 故（3）错误． 故选C． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．