Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．（1）求证：△MDC是等边三角形；（2

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．（1）求证：△MDC是等边三角形；（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

Answer 1

（1）见解析 （2）存在，△AEF的周长的最小值为2+

（1）证明：连接AM，过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q， 即AQ∥DP， ∵AD∥BC， ∴四边形ADPQ是平行四边形， ∴AD=QP=AB=CD， ∵∠C=∠B=60°， ∴∠BAQ=∠CDP=30°， ∴CP=BQ= AB=1， 即BC=1+1+2=4， ∵CD=2， ∴BC=2CD， ∵点M是BC的中点， BC=2CM， ∴CD=CM， ∵∠C=60°， ∴△MDC是等边三角形． （2）解：△AEF的周长存在最小值，理由如下： 过D作DN⊥BC于N，连接AM， ∵∠C=60°， ∴∠CDN=30°， ∵CD=2， ∴CN=1， ∴由勾股定理得：DN= ， 连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形， △MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形， ∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°， ∴∠BME=∠AMF， 在△BME与△AMF中， ， ∴△BME≌△AMF（ASA）， ∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB， ∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF， ∵MF的最小值为点M到AD的距离等于DN的长，即是 ，即EF的最小值是 ， △AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF， △AEF的周长的最小值为2+ ， 答：存在，△AEF的周长的最小值为2+ ．     （1）过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，得到CP=BQ= AB，CP+BQ= AB=1，得出BC=2CD，由点M是BC的中点，推出CM=CD，由∠C=60°，根据等边三角形的判定即可得到答案； （2）△AEF的周长存在最小值，理由是连接AM，由ABMD是菱形，得出△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，推出∠BME=∠AMF，证出△BME≌△AMF（ASA），得出BE=AF，ME=MF，推出△EMF是等边三角形，根据MF的最小值为点M到AD的距离 ，即EF的最小值是 ，即可求出△AEF的周长．