Question

如图正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．（1）求证：BE+DF=EF；（2）若BE=3，DF=2，求AB

如图正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．（1）求证：BE+DF=EF；（2）若BE=3，DF=2，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：延长EB至H，使BH=DF，连接AH， ∵在正方形ABCD中， ∴∠ADF=∠ABH，AD=AB， 在△ADF和△ABH中， ∵ AD=AB ∠ADF=∠ABH DF=HB ∴△ADF≌△ABH（SAS）， ∴∠BAH=∠DAF，AF=AH， ∴∠FAH=90°， ∴∠EAF=∠EAH=45°， 在△FAE和△HAE中， ∵ AF=AH ∠FAE=∠EAH AE=AE ∴△FAE≌△HAE（SAS）， ∴EF=HE=BE+HB， ∴EF=BE+DF， （2）∵EF=BE+DF，BE=3，DF=2，∴EF=5， 设AB=x，则CE=x-3，CF=x-2， 在△CEF中：FC 2 +EC 2 =EF 2 ， 故（x-2） 2 +（x-3） 2 =5 2 ， 解得：x 1 =-1（舍去），x 2 =6， ∴AB=6．