Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，B= π 3 ， cosA= 4 5 ，b= 3

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，B= π 3 ， cosA= 4 5 ，b= 3 ．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且 B= π 3 ，cosA= 4 5 ＞0，所以A为锐角，则sinA= 1- cos 2 A = 3 5 ∴ C= 2π 3 -A ∴ sinC=sin( 2π 3 -A)= 3 2 cosA+ 1 2 sinA= 3+4 3 10 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 sinA= 3 5 ，sinC= 3+4 3 10 ， 又∵ B= π 3 ，b= 3 ， ∴在△ABC中，由正弦定理，得 ∴ a= bsinA sinB = 6 5 ． ∴△ABC的面积 S= 1 2 absinC= 1 2 × 6 5 × 3 × 3+4 3 10 = 36+9 3 50 ．