Question

已知函数f(x)＝13x3 +ax2 +bx．（1）若函数f（x）在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点，当以a2-b取

已知函数f(x)＝13x3 +ax2 +bx．（1）若函数f（x）在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点，当以a2-b取最大值时，求函数f（x）的表达式；（2）若a=-1，在曲线y=f（x）上是否存在唯一的点P，使曲线在点P处的切线l与曲线只有一个公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

∵函数f（x）在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点，
∴f′（x）=x²+2ax+b=0在[-1，1），（1，3]内分别有一个实根，
设两个实根为x₁，x₂（x₁＜x₂），则x₂-x₁=2

a2?b

，且0＜x₂-x₁≤4，于是
0＜2

a2?b

≤4，0＜a²-b≤4，且当x₁=-1，x₂=-3时等号成立，
故a²-b取得最大值是4，此时f（x）=

1

3

x3?x2?3x；
（2）假如存在点p（x₀，y₀）符合条件，
则由f′（x）=x²-2x+b知f（x）在点P处切线l的方程是
y-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀），即y=（x02?2x0+b）x-

2

3

x03+x 02
令g（x）=f（x）-[（x02?2x0+b）x-

2

3

x03+x 02]=

1

3

x3?x2-（x 02-2x₀）x+

2

3

x03-x 02，则g（x₀）=0
由题设知，g（x）=f（x）-[（x02?2x0+b）x-

2

3

x03+x