Question

（2009?来宾）如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E．（1）证明：BE

（2009?来宾）如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E．（1）证明：BE=CE；（2）证明：∠D=∠AEC；（3）若⊙O的半径为5，BC=8，求△CDE的面积．

Answer 1

（1）证明：∵BC是⊙O的弦，半径OE⊥BC，
∴BE=CE．

（2）证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCB+∠DCF=90°．
∵∠D+∠DCF=90°，
∴∠OCB=∠D，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠AEC，
∴∠D=∠AEC．

（3）解：在Rt△OCF中，OC=5，CF=4，
∴OF=

OC2?CF2

＝

52?42

=3．
∵∠COF=∠DOC，∠OFC=∠OCD，
∴Rt△OCF∽Rt△ODC．
∴

OD

OC

＝

OC

OF

，即OD＝

OC2

OF

＝

52

3

＝

25

3

．
∴DE=OD-OE=

25

3

-5=

10

3

．
∴S_△CDE=

1

2

?DE?CF=

1

2

×

10

3

×4=

20

3

．