Question

设函数f（x）=ax3-bx2，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x+y-1=0（1）求f（x）在[-12，32]上的

设函数f（x）=ax3-bx2，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x+y-1=0（1）求f（x）在[-12，32]上的最大值和最小值；（2）设g（x）=4lnx-f（x），若对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，g(x1)?g(x2)x1?x2≥k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3ax²-2bx，由题知，f′（1）=-1，且f（1）=0，即3a-2b=-1，且a-b=0，
解得a=b=-1．故f（x）=-x³+x²，f′（x）=-3x²+2x，由f′（x）=0得，x=0或x=

2

3

，
又f（-

1

2

）=

3

8

，f（

3

2

）=?

9

8

，f（0）=0，f（

2

3

）=

4

27

，可得最大值为

3

8

，最小值为?

9

8

．
（2）由（1）得g（x）=4lnx-f（x）=4lnx+x³-x²，g′（x）=

4

x

+2x²-2x，
当x₁＜x₂时，

g(x1)?g(x2)

x1?x2

≥k恒成立，即g（x₁）-kx₁≤g（x₂）-kx₂恒成立，
所以函数h（x）=g（x）-kx在（0，+∞）上单调递增，
所以h′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即

4

x

+2x²-2x≥k，
若设φ（x）=

4

x

+2x²-2x
则只需k≤φ（x）_min，φ′（x）=-

4

x2

+6x-2=

2(x?1)(3x2+2x+2)

x2

，φ′（x）=0，得x=1，x=1是φ（x）的极小值点也是最小值点，所以φ（x）_min=φ（1）=5，所以k≤5．