Question

已知函数f（x）=lnx﹣ ，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x

已知函数f（x）=lnx﹣ ，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数h（x）=x 2 ﹣mx+4，当a=2时，若 x 1 ∈（0，1）， x 2 ∈[1，2]，总有g（x 1 ）≥h（x 2 ）成立，求实数m的取值范围．

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Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且  ， ①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增； ②当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a； 故f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增． （Ⅱ）g（x）=ax﹣  ，g（x）的定义域为（0，+∞），  ﹣  =  ， 因为g（x）在其定义域内为增函数，所以x∈（0，+∞），g′（x）≥0， ∴ax 2 ﹣5x+a≥0， ∴a（x 2 +1）≥5x，即  ， ∴  ． ∵  ，当且仅当x=1时取等号，所以a  ． （Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣  ，  ， 由g′（x）=0，得x=  或x=2． 当  时，g′（x）≥0； 当x  时，g′（x）＜0． 所以在（0，1）上，  ， 而“ x 1 ∈（0，1）， x 2 ∈[1，2]，总有g（x 1 ）≥h（x 2 ）成立”等价于 “g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值” 而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}， 所以有  ， ∴  ， ∴  ， 解得m≥8﹣5ln2， 所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2，+∞）．