Question

已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列

已知点A，B分别是x轴、y轴上的动点，点C，D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”．（1）若某函数是一次函数y=x+1，①如图1，当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，求一次函数y=x+1的图象的“伴侣正方形”的边长．②如图2，当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，则一次函数y=x+1的图象的“伴侣正方形”的边长为______（2）如图3，若某函数是反比例函数y=kx（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值．

Answer 1

解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∵C，D在直线y=x+1上，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∵ABCD为正方形，
∴∠BAC=45°，
∴点C在x轴上，
同理D在y轴上，
∴C、D分别为直线y=x+1与x轴，y轴的交点，
∴C（-1，0），D（0，1），CD=

2

，
则所求的“伴侣正方形”的边长为

2

；
②同上，可得OA=OB，设直线y=x+1与x轴交于点E，则E（-1，0），且△ADE为等腰直角三角形，
过D作DH⊥x轴于H点，则有△DHA≌△AOB，
∴DH=AH=OB=OA，
∵OA+AH+EH=OE=1，
∴OA=OB=

1

3

，
∴AB=

2

OA=

2

3

，
则所求的“伴侣正方形”边长为

2

3

；
故答案为：

2

3

；
（2）过D作DM⊥x轴于点M，过C作CN⊥y轴于点N，
∵ABCD为正方形，
∴△CNB≌△BOA≌△AMD，
∵D（2，m），
∴BN=OA=DM=m，CN=BO=AM=OM-OA=2-m，ON=OB+BN=2，
∴C（2-m，2），
∵C（2-m，2），D（2，m）均在反比例函数图象上，
∴2（2-m）=2m，
解得：m=1．