（2013?历城区一模）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6．在底边AB上有一动点E，
（2013?历城区一模）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6．在底边AB上有一动点E，满足∠DEQ=120°，EQ交射线DC于点F...
（2013?历城区一模）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6．在底边AB上有一动点E，满足∠DEQ=120°，EQ交射线DC于点F．（1）求下底DC的长度；（2）当点E是AB的中点时，求线段DF的长度；（3）请计算射线EF经过点C时，AE的长度．
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（1）如图1，过B作BM⊥DC于M，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴∠A=∠D=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，
∴AB=DM=6，AD=BM=
，∠ABM=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠MBC=120°-90°=30°，
∴CM=BM?tan30°=
×
=1，
∴DC=6+1=7；
（2）如图2，过E点作EG⊥DF，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴∠A=∠ADG=∠DGE=90°，
∴四边形ADGE是矩形，
∵E是AB的中点，
∴DG=AE=3，
∴EG=AD=
，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°=
，
解得GF=3，
∴DF=6；
（3）如图3，过点B作BH⊥DC，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，则BH=AD=
，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=
=
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴∠A=∠D=∠BMD=90°，
∴四边形ADMB是矩形，
∴AB=DM=6，AD=BM=
| 3 |
∵∠ABC=120°，
∴∠MBC=120°-90°=30°，
∴CM=BM?tan30°=
| 3 |
| ||
| 3 |
∴DC=6+1=7；
（2）如图2，过E点作EG⊥DF，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴∠A=∠ADG=∠DGE=90°，
∴四边形ADGE是矩形，
∵E是AB的中点，
∴DG=AE=3，
∴EG=AD=
| 3 |
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°=
| GF | ||
|
解得GF=3，
∴DF=6；
（3）如图3，过点B作BH⊥DC，过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，则BH=AD=
| 3 |
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=
| BH |
| tan60° |
|
