Question

已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Sn＝an2+2an?3．（1）求数列{an}的通项公式；（

已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Sn＝an2+2an?3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求Sn值．

Answer 1

（1）当n=1时，a1＝s1＝

1

4

a

2 1

+

1

2

a1?

3

4

，解出a₁=3，
又4S_n=a_n²+2a_n-3              ①
当n≥2时，4s_n-1=

a

2 n?1

+2a_n-1-3    ②…（4分）
①-②：4an＝

a

2 n

?

a

2 n?1

+2(an?an?1)，即

a

2 n

?

a

2 n?1

?2(an+an?1)＝0，
∴(

a

n

+an?1)(an?an?1?2)＝0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=2（n≥2），…（6分）
∴数列{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．    …（7分）
（2）由（1）知a_n=2n+1，∴数列{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
∴Sn＝3n+

n(3+2n+1)

2

＝n(n+2)＝n2+2n…..（12分）