Question

已知数列{an}满足a1=a2=2，a3=3，an+2=a2n+1+ (?1)nan（n≥2）（Ⅰ）求a4，a5；（Ⅱ）是否存在实数λ，使

已知数列{an}满足a1=a2=2，a3=3，an+2=a2n+1+ (?1)nan（n≥2）（Ⅰ）求a4，a5；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{an+1-λan}（n∈N*）是等差数列？若存在，求出所有满足条件的λ的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）写出数列{an}中与987相邻的后一项（不需要过程）

Answer 1

（I）a₄=

a 2 3 +1

a2

=

9+1

2

=5
a₅=

a 2 4 ?1

a3

=

25?1

3

=8
（II）假设存在实数λ，使得数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列，则
2（a₃-λa₂）=（a₂-λa₁）+（a₄-λa₃），解得λ=1
由a₃=3，a₄=5，a₅=8，a₆=13得2（a₅-a₄）≠（a₄-a₃）-（a₃-a₂）与数列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列矛盾
故不存在实数λ，使数列{a_n+1-λa_n}（n∈N^*）是等差数列
（III）a₂=2，a₃=3，a₄=5，a₅=8，a₆=13，猜想a_n+2=a_n+1+a_n（n≥2）
∴数列{a_n}中与987相邻的后一项为1597．