Question

已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．求证：（1）x1x2为定

已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．求证：（1）x1x2为定值；（2）1|FA|+1|FB|为定值．

Answer 1

（1）抛物线的焦点为F（

p

2

，0），设直线AB的方程为y=k（x-

p

2

）（k≠0），
由

y＝k(x? p 2 ) y2＝2px

，消去y，得k²x²-p（k²+2）x+

k2p2

4

=0，
由根与系数的关系，得x₁x₂=

p2

4

（定值）．
当AB⊥x轴时，x₁=x₂=

p

2

，x₁x₂=

p2

4

，也成立．
（2）由抛物线的定义，知|FA|=x₁+

p

2

，|FB|=x₂+

p

2

．

1

|FA|

+

1

|FB|

=

1

x1+ p 2

+

1

x2+ p 2

=

x1+x2+p

x1? p 2 +x2? p 2 +x1x2+ p2 4

=

2

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