Question

已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为Sn．令cn＝(?1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20项和T20=330．

已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为Sn．令cn＝(?1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20项和T20=330．数列{bn}满足bn=2（a-2）dn-2+2n-1，a∈R．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn+1≤bn，n∈N*，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
因为cn＝(?1)nSn，
所以T₂₀=-S₁+S₂-S₃+S₄+…+S₂₀=330，
则a₂+a₄+a₆+…+a₂₀=330…（3分）
则10(3+d)+

10×9

2

×2d＝330
解得d=3
所以a_n=3+3（n-1）=3n…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知b_n=2（a-2）3^n-2+2^n-1b_n+1-b_n=2（a-2）3^n-1+2ⁿ-[2（a-2）3^n-2+2^n-1]
=4（a-2）3^n-2+2^n-1=4?3n?2[(a?2)+

1

2

(

2

3

)n?2]
由b_n+1≤b_n?(a?2)+

1

2

(

2

3

)n?2≤0?a≤2?

1

2

(

2

3

)n?2…（10分）
因为2?

1

2

(

2

3

)n?2随着n的增大而增大，
所以n=1时，2?

1

2

(

2

3

)n?2最小值为

5

4

，
所以a≤

5

4

…（12分）