Question

如图所示，光滑水平面上有一粗细均匀的边长为L、总电阻为R、质量为m的正方形线框abcd，两相互平行的虚线P

如图所示，光滑水平面上有一粗细均匀的边长为L、总电阻为R、质量为m的正方形线框abcd，两相互平行的虚线PP′和QQ之间有一方向垂直纸面向外、宽度H=2l，磁感应强度大小为B的匀强磁场，线框在恒力F0作用下开始向磁场区域运动，bc边始终垂直于虚线PP′，cd边运动s后进入磁场，ab边进入磁场前某时刻，线框已达到平衡状态，当cd边开始离开磁场时，撤去恒力F0，立即重新施加外力F，使得线框做加速度大小为F0m的匀减速运动，最终离开磁场．（1）求cd边刚进入磁场时c、d两点的电势差；（2）求cd边从进入磁场到运动至QQ′这个过程中安培力做的总功；（3）写出线框离开磁场的过程中，F随时间t变化的关系式．

Answer 1

（1）线圈进入磁场前线圈做匀加速运动，牛顿第二定律和速度公式加速度为 a=

F0

m

cd刚进入磁场时速度为 v=at
而线圈通过的位移s=

1

2

at2
解得 v=

2F0s m

cd边刚进入磁场时产生的感应电动势 E=BLv
此时cd边的电势差U=

3

4

E
联立以上各式得 U=

3

4

BL

2F0s m

．
（2）进入磁场后达到平衡时，设此时速度为v₁，则有 F₀=BIL=

B2L2v1

R

得 v₁=

F0R

B2L2

根据动能定理得 F₀（L+s）+W_安=

1

2

m

v

2 1

则得 W_安=-F₀（L+s）+

m F 2 0 R2

2B4L4

（3）平衡后到开始离开磁场时，设线圈开始离开磁场时速度为v₂
 根据动能定理得：
  F₀（H-L）=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²?
解得，v₂=

F 2 0 R2 B4L4 + 2F0(H?L) m

此时的安培力

B2L2v2

R

＞ma
所以，离开磁场时，有

B2L2v

R

-F=ma
而v=v₂-at，
代入v₂ 得 F=

B2L2

R

F 2 0 R2 B4L4 + 2F0(H?L) m

-F₀-

B2L2F0

mR

t
答：（1）cd边刚进入磁场时cd两端的电势差为

3

4

BL

2F0s m

．
（2）cd边从进入磁场到QQ’这个过程中安培力做的总功为-F₀（L+s）+

m F 2 0 R2

2B4L4

．
（3）写出线框离开磁场的过程中，F随时间t变化的关系式为

B2L2

R

F 2 0 R2 B4L4 + 2F0(H?L) m

-F₀-

B2L2F0

mR

t．