（2004?湖南）如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE：E
（2004?湖南）如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）证明PA⊥平面A...
（2004?湖南）如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
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1个回答
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解答：
解：（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接如搭EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．
又PE：ED=2：1，所以EG＝
a，AG＝
a，GH＝AGsin60°＝
a．
从渣激拿而tanθ＝
＝
，θ=30°．
（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，
过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图．
由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0，0，0)，B(
a，?
a，0)，C(
a，
a，0).D(0，a，0)，P(0，0，a)，E(0，
a，
a)．
所以
＝(0，
a，
a)，
＝(
a，
a，0)．
＝(0，0，a)，
＝(
a，
a，?a)．
＝(?
a，
a，a)．
设点F是棱PC上的点，
＝λ
＝(
aλ，铅渗
aλ，?aλ)，其中0＜λ＜1，
则
＝
+
＝(?
解：（Ⅰ）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，
由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接如搭EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．
又PE：ED=2：1，所以EG＝
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从渣激拿而tanθ＝
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| GH |
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（Ⅲ）解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，
过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图．
由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0，0，0)，B(
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| 1 |
| 3 |
所以
| AE |
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| 1 |
| 3 |
| AC |
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| 1 |
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| AP |
| PC |
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| BP |
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| 1 |
| 2 |
设点F是棱PC上的点，
| PF |
| PC |
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则
| BF |
| BP |
| PF |
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