Question

哪位帮下忙，求x/根号下(x^2+4x+5)的不定积分

Answer 1

∫ x/√(x²+4x+5) dx
=∫ x/√[(x+2)²+1] dx
令x+2=tanu，则dx=sec²udu，√[(x+2)²+1]=secu
=∫ [(tanu-2)/secu]sec²u du
=∫ (tanusecu-2secu) du
=secu - 2ln|secu+tanu| + C
=√[(x+2)²+1] - 2ln|√[(x+2)²+1]+x+2| + C
=√(x²+4x+5) - 2ln|√(x²+4x+5)+x+2| + C

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追问

请问secu的不定积分的值怎么会是ln|secu+tanu|?

追答

这个是公式，要记的，你查一下基本积分表

下面是其中一个解法：
∫ secu du
=∫ secu(secu+tanu)/(secu+tanu) du
=∫ (sec²u+secutanu)/(secu+tanu) du
=∫ 1/(secu+tanu) d(tanu+secu)
=ln|secu+tanu| + C

追问

哦，我知道了。那麻烦你看下这个式子；∫secxdx.因为secx=1/cosx
=∫cosx／cos^2xdx
=∫dsinx／1-sin^2x
=1/2∫[1／(1+sinx)+1／(1-sinx)]dsinx
=1/2[ln|1+sinx|-ln|1-sinx|]+c
=1/2ln|(1+sinx)／(1-sinx)|+c
这样行吗？

追答

可以的。
1/2ln|(1+sinx)／(1-sinx)|
=1/2ln|(1+sinx)²／(1-sin²x)|
=1/2ln|(1+sinx)²／cos²x|
=ln|(1+sinx)／cosx|
=ln|secx+tanx|

Answer 2

正数范围内