Question

定义在R上的连续函数f(x)存在反函数是f(x)单调的什么条件?为什么

Answer 1

函数的定义是对定义域内任意一个x,按照某种对应法则，都有唯一的y与它对应。如y1=f(x1),对x1有唯一的y1与它对应，单调函数的x与y是一一对应的关系，所以x1=f-1(y1) ,也就是在反函数中，对自变量y1有唯一的x1与它对应 (-1应该写在y的右肩膀上），若原函数不是单调函数，有可能还有x2使y1=f(x2),这样对于反函数自变量取y1时，就有两个函数值x1,x2与它对应，不符合函数定义。因此定义在R上的连续函数f(x)存在反函数是f(x)单调充要条件。