Question

高等数学一题,规范的.设f(x)在x=0点连续且在x趋向于0时,lim f(x)...

高等数学一题,规范的. 设f(x)在x=0点连续且在x趋向于0时,lim f(x)/3x =1 ,则曲线y=f(x)在点(0,f(X))处的切线方程是--? 若函数f(x)可导,则函数F(x)=f(x)(1+tan|x|)在x=0处可导的充要条件是f(x)=?（除了f（x）=0,还有什么答案） 答好了加分可以商量.先放一些分

Answer 1

第一问：在点（0,f(x))处的切线也就是
在点（0,f(0))处的切线.
x→0,lim
f(x)/3x
=1
,那么f(x)
和3x也就是等价无穷小,且f(x)在0点连续
那么必然有f(0)=0,那么也就是求在点(0,0)的切线,现在只需求出斜率k=f'(0)即可f'(0)=
lim
[f(0+△x)
-
f(0)]/△x
=
lim
f(△x)/△x
----△x→0.利用等价无穷小
3△x
代换f(△x)
得：f'(0)=
lim
3△x
/△x
=
3那么切线也就为：
y
=
3x第2问：既然你是问
充要条件,
那么一定就要强调充分性和必要性.你所说的f（x）=0
满足充分性,但不满足必要性.完全可以直接用导数的定义求：----△x→0F'(0)
=
lim
[
F(0+△x)
-
F(0)]/△x=
lim
[（1+tan|0+△x|）*f(0+△x）
-
（1+tan|0|)f(0)]/△x=
lim
[
(1+tan|△x|)
f(△x)
-
f(0)]/△x要使这个存在
则:f(0)=0
反过来,若f(0)=0,
f(x)又为可导函数
则F'(0)=
lim
[
(1+tan|△x|)
f(△x)
-
f(0)]/△x=
lim
[(1+tan|△x|)
f(△x)
]/△x=
f'(0)
*
lim(1+tan|△x|）=
f'(0)所以并不用
f(x)=0
只需使f(0)=0即可.