Question

高等数学中值定理问题，如图。麻烦一一解答，谢谢了。

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Answer 1

1. 设f(x)=(lnx)^2 则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f'(x)=2lnx/x
根据拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈（a，b）使
(lnb)^2-(lna)^2=2(lnξ/ξ)(b-a)
但 2(lnξ/ξ)>2lne^2/e^2=4/e^2
∴(lnb)^2-(lna)^2>4/e^2(b-a)
2.疑条件为：f(0)=f(a)=0,使f(c)+cf'(c)=0
考虑：xf(x),∵f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(0)=f(a)=0
∴ xf(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且0f(0)=af(a)=0
[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)
根据罗尔中值定理，存在一点c∈（0,a）使 f(c)+cf'(c)=0.

Answer 2

楼上前面的都做得很好，我来补充一下第三题吧
f'(x)单减可以得出f"(x)<0
将结论的不等式变形，即证f(a+b)-f(b)≤f(a)=f(a)-f(0)
由拉格朗日中值定理得(a+b-b)f'(c)≤(a-0)f'(d).其中0<d<a,b<c<a+b
整理得a[f'(c)-f'(d)]≤0，再用一次中值定理得
a(c-d)f"(y)≤0,d<y<c，现在结论就显然成立了
最好顺着来证，稍微再组织一下语言就行了