Question

当0<a<b时，证明2a/(a^2+b^2)<(Ina-Inb)/(a-b)<1/√ab。

Answer 1

　　(Ina-Inb)/(a-b)<1/√ab
　　<=>ln(b/a)<√(b/a) - 1/√(b/a) .........(1)
　　∵0<a<b，
　　∴b/a>1
　　设b/a=t^2(t>0)，则t>1
　　(1)式等价于：
　　当t>1时，2lnt<t-1/t

　　令：f(t)=t-1/t-2lnt，t>=1
　　则：f'(t)=1+1/t^2-2/t=(1-1/t)^2
　　从而知f(t)单调递增，
　　当t>1时，f(t)>f(1)=1-1/1-2ln1=0
　　故2lnt<t-1/t，（1）式成立。
　　2a/(a^2+b^2)<(Ina-Inb)/(a-b)
　　<=>2(b/a-1)/[(b/a)^2+1]<ln(b/a) .........(2)
　　设b/a=x，则x>1
　　(2)式等价于：
　　当x>1时，2(x-1)/(x^2+1)<lnx..........(3)
事实上，可以证明：当x>1时，(x-1)/x<lnx............(4)

　　证明如下：
　　设g(x)=lnx-(x-1)/x，x>=1
　　则g'(x)=1/x-1/x^2=（x-1)/x^2
　　从而知g(x)单调递增，
　　当x>1时，g(x)>f(1)=ln1-(1-1)/1=0
　　故(x-1)/x<lnx
　　欲证(3)式，只需证明：
　　当x>1时，2(x-1)/(x^2+1)<(x-1)/x
　　<=>2x<1+x^2

　　<=>(1-x)^2>0
　　显然成立，故(2)式成立，证毕。

　　【PS：(4)式其实是一常用不等式的变形：当x>-1时，x/(1+x)<=ln(1+x)<=x，等号当且仅当x=0】
　　更多的应用参见：
　　【1】http://wenku.baidu.com/view/c81cc02d7375a417866f8f2f.html
　　【2】http://wenku.baidu.com/view/f3c4fc2ce2bd960590c6772f.html