Question

函数f(x)=1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx, 求f(x)的单调区间

Answer 1

解：定义域x>0
1)求导f'(x)=ax-(2a+1)+2/x
f'(1)=a-(2a+1)+2
f'(3)=3a-(2a+1)+2/3
由题有f'(1)=f'(3)整理即1-a=a-1/3,解得a=2/3

2)
f'(x)=ax-(2a+1)+2/x=[ax^2-(2a+1)x+2]/x=(ax-1)(x-2)/x
令f'(x)=0

i)当a=<0,x1=1/a(舍去）,x2=2，
由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,2)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(2,+∞)

ii)当1/2>a>0,0<x1=2<x2=1/a
由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,2)U(1/a,+∞)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(2,1/a)

iii)当a=1/2,有f'(x)>=0,且f'(x)不恒为0，得f(x)单调递增区间x∈(0,+∞)

iiii)当a>1/2,0<x1=1/a<x2=2
由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,1/a)U(2,+∞)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(1/a,2)

3)只需对任意x1 ,x2∈ (0,2]使得f(x1)<min[g(x2)]
因为g(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1>=-1得到min[g(x2)]=-1，x2∈ (0,2]
问题便转化为f(x)<-1在x∈ (0,2]恒成立
即1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx<-1在x∈ (0,2]恒成立
分离常数a,即a>(2x-4lnx-2)/(x^2-4x),在x∈ (0,2]恒成立【注意x^2-4x<0,x∈ (0,2]】
该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(2x-4lnx-2)/(x^2-4x),x∈ (0,2]
求导易得h'(x)=[2(x-2)(4lnx-x-2)]/[(x^2-4x)^2]下面判断h'(x)的符号只需判断4lnx-x-2的符号
引入F(x)=4lnx-x-2,求导得F'(X)=4/x-1=(4-x)/x,显然当x∈ (0,2],F'(x)>0得F(x)单调递增
那么F(x)<F(2)=4ln2-4<4lne-4=0
因此当x∈ (0,2)，h'(x)>0,h(x)单调递增,【当x∈ (2，4)，h'(x)<0,h(x)单调递减】,
易得到x∈ (0,2],h(x)极大值为h(2)且此极大值必为其最大值。
所以maxh(x)=h(2)=ln2-1/2
由a>maxh(x),得到a的取值范围为(ln2-1/2,+∞)
打字不易，如满意，望采纳。

追问

第二问中，a的临界条件为什么要取1/2 ?可以告诉我这里的思路是什么吗谢谢