Question

已知函数f(x)=(e^x-a)/x,g(x)=alnx+a

若x>1时，函数f(x)的图像总在g(x)的图像的上方，求a的范围。

Answer 1

楼上的回答还有一些地方需要纠正一下，我借用一下一些结论
即求x>1时，总有(e^x-a)/x>alnx+a成立
即总有e^x-a>ax(lnx+1)成立
即总有e^x>a[xlnx+x+1]成立
∵x>1时，xlnx+x+1>2>0
所以只需证a<e^x/(xlnx+x+1)恒成立，也就是a<右边函数的最小值
下面设h(x)=e^x/(xlnx+x+1)，现在要求h(x)在x>1时的最小值
求得h'(x)=(xlnx+x-lnx-1)e^x/(xlnx+x+1)^2=(x-1)(lnx+1)e^x/(xlnx+x+1)^2
因为x>1，所以x-1,e^x,lnx+1,(xlnx+x+1)^2均大于0，所以导数恒为正，也就是函数单增
所以h(x)>h(1)=e/2
因此a≤e/2
楼上的做法不够严密，虽然答案是对的。因为如果最小值不在x=1这个端点，而是在中间某一个点，如x=2，单纯的判断两个函数的变化率不能完全确定他们的大小关系。举个简单的例子：f(x)=2x，g(x)=x+1，f(x)的变化一直比g(x)快，但是只有当x>1时才有f(x)>g(x)

Answer 2

即求x>1时，总有(e^x-a)/x>alnx+a成立
即总有e^x-a>ax(lnx+1)成立
即总有e^x>a[xlnx+x+1]成立 (1)
∵x>1时，xlnx+x+1>2
∴当a<0时，不等式显然成立
欲使不等式(1)在a>0时成立，首先要保证x>1时，左边的增长率要大于右边的增长率
即要有(e^x)'=e^x>{a[xlnx+x+1]}'=a(lnx+1+1)=a(lnx+2) (2)
上述不等式成立的条件是，不等式两边再取导数时，不等式依然成立
即不等式(2)成立的条件，也要左边的增长率要大于右边的增长率
即要有(e^x)'=e^x>[a(lnx+2)]'=a/x
当x>1时，有e^x>e, a>a/x
欲使上述不等式成立，只需保证e≥a即可
即a≤e时，可保证不等式(1)左边的增长率大于右边的增长率
在保证增长率的前提下，只需保证在x=1时，左边的函数值不小于右边函数值即可
即当x=1时，令e≥a*[0+1+1]=2a即可
解得a≤e/2
综合可得，a的取值范围为a≤e/2