Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y的正半轴上，O为原点坐标，A B的两点坐标为（-3，0）

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y的正半轴上，O为原点坐标，A B的两点坐标为（-3，0）、(0,4)抛物线y＝2/3x^2+bx+c经过B点,且顶点在直线x=5/2上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上?并说明理由.
(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M做MN平行于Y轴交CD于点N,设点M横坐标为t,MN长度为L,求L与t之间的函数关系式,并求L最大值时,点M的坐标

Answer 1

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⑴抛物线Y=2/3x^2+bx+c经过B(0，4)得：c=4，
由对称轴X=-b/(2×2/3)=5/2得：b=-10/3，
∴抛物线解析式为：Y=2/3x^2-10/3x+4。
⑵AB=√(OA^2+OB^2)=5，∵ABCD中菱形，∴AC=BD=5，∴C(2，0)，D(5，4)，
当X=2时，Y=2/3x^2-10/3x+4=0，当X=5时，Y=2/3x^2-10/3x+4=4，
∴C、D都在抛物线Y=2/3x^2-10/3x+4上。
⑶Y=2/3x^2-10/3x+4=2/3(X-5/2)^2+23/12，
直线CD解析式：Y=4/3X-8/3，
L=(4/3t-8/3)-(2/3t^2-10/3t+4)
=-2/3t^2+14/3t-20/3
=-2/3(t^2-7X+3.5^2)+3/2，
=-2/3(t-7/2)^2+3/2，
∴当t=7/2时，L最大=3/2。
当t=7/2时，Y=1/2，∴M(7/2，1/2)。

Answer 2

顶点在直线x=5/2上,所以抛物线关于直线x=5/2对称
与B（0, 4）点对称的点的坐标为（5，4）
y＝2/3x^2+bx+c
50/3+5b+c=4
c=4
b=-10/3
(1)求抛物线对应的函数关系式是: y=2/3x^2-10/3x+4
A B的两点坐标为（-3，0）、(0,4)
|AB|=5
ABCD是菱形
|AB|=|AD|=|BC|=5
设点D(d，0)
|AD|=|d+3|=5
△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的
所以，d=2
点D的坐标(2，0)
点C的坐标(5，4)

把C,D两点坐标代入y=2/3x^2-10/3x+4 成立
(2)点C和点D在该抛物线上。
M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，M横坐标为t，
所以纵坐标为2/3t²-10/3t+4
点C的坐标(5，4)
点D的坐标(2，0)
CD的直线方程为Y=4/3X-8/3,N点横坐标为t，
所以纵坐标为4/3t-8/3
L=4/3t-8/3 - (2/3t²-10/3t+4)=-2/3t² + 14/3t - 20/3=3/2 - 2/3(t-7/2）²
当t=7/2时，L最大。
M纵坐标为2/3t²-10/3t+4=1/2

(3)L与t之间的函数关系式是
L=-2/3t² + 14/3t - 20/3
M点坐标为（7/2,1/2）