Question

设f(x)在(0,+∞)上有意义,x1>0,x2>0,求证：

(1)若f(x)/x单调减少，则f(x1+x2)<f(x1)+f(x2) ；
(2)若f(x)/x单调增加，则f(x1+x2)>f(x1)+f(x2) ；

Answer 1

解：由f(x)的定义域为(0,+∞)，x1>0，x2>0,
故x1+x2>x1，x1+x2>x2，由f(x)/x单调递减，
故f（x1+x2)/(x1+x2) ≤ f(x1)/x1 => x1*f(x1+x2)/(x1+x2) ≤ f(x1)
f(x1+x2)/(x1+x2) ≤ f(x2)/x2 => x2*f(x1+x2)/(x1+x2) ≤f(x2)
两式相加得， (x1+x2)*f(x1+x2)/(x1+x2) ≤ f(x1)+f(x2)，
故f(x1+ x2)≤f(x1)+f(x2)

追问两式相加得， (x1+x2)*f(x1+x2)/(x1+x2) ≤ f(x1)+f(x2)。怎么加出来的 你用笔下 拍下 发邮件给我吧kumoshuai@163.com
回答解：由f(x)的定义域为(0,+∞)，x1>0，x2>0,
故x1+x2>x1，x1+x2>x2，由f(x)/x单调递减，
故f（x1+x2)/(x1+x2) ≤ f(x1)/x1 => x1*f(x1+x2)/(x1+x2) ≤ f(x1)①
f(x1+x2)/(x1+x2) ≤ f(x2)/x2 => x2*f(x1+x2)/(x1+x2) ≤f(x2)②
①+② 两式相加得， (x1+x2)*f(x1+x2)/(x1+x2) ≤ f(x1)+f(x2)，
(这一步是把①和②中相同的因式 f(x1+x2)/(x1+x2))提取出来，然后把①剩下的x1和②剩下的x2相加)
故f(x1+ x2)≤f(x1)+f(x2)
（这一步是把式子等号左边的(x1+x2)*f(x1+x2)/(x1+x2)中分子，分母同除于(x1+x2)）