Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点。

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点。 （1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由。

Answer 1

解：（1）连结AD， ∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B， 又∵BP=AQ， ∴△BPD≌△AQD， ∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP， ∵∠BDP+∠ADP=90°， ∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°， ∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形， 由（1）知△ABD为等腰直角三角形， 当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°， 又∵∠A=90°，∠PDQ=90°， ∴四边形APDQ为矩形， 又∵DP=AP= AB， ∴四边形APDQ为正方形。