Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F 1 ，F 2 在x轴上，离心率为 .过F 1 的直线交椭圆C于A

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F 1 ，F 2 在x轴上，离心率为 .过F 1 的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF 2 的周长为8.过定点M(0，3)的直线l 1 与椭圆C交于G，H两点(点G在点M，H之间)．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l 1 的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) ＝1(2)

(1)设椭圆的方程为 ＝1(a>b>0)，由离心率e＝ ＝ ，△ABF 2 的周长为|AF 1 |＋|AF 2 |＋|BF 1 |＋|BF 2 |＝4a＝8，得a＝2，c＝1，则b 2 ＝a 2 －c 2 ＝3. 所以椭圆C的方程为 ＝1. (2)由题意可知，直线l 1 的方程为y＝kx＋3(k>0)． 由 得(3＋4k 2 )x 2 ＋24kx＋24＝0，① Δ＝(24k) 2 －4×24×(3＋4k 2 )>0，解得k> . 设椭圆的弦GH的中点为N(x 0 ，y 0 )，则“在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形”等价于“在x轴上是否存在点P(m，0)，使得PN⊥l 1 ”． 设G(x 1 ，y 1 )，H(x 2 ，y 2 )，由韦达定理，得x 1 ＋x 2 ＝－ ， 则x 0 ＝ ＝－ ，所以y 0 ＝kx 0 ＋3＝ ， 即N ，k PN ＝－ . 从而－ ·k＝－1， 解得m＝－ . 又因为m′(k)＝ >0， 所以函数m＝－ 在定义域 上单调递增，且m min ＝m ＝－ ，即m∈ . 故存在满足条件的点P(m，0)，m的取值范围为