Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．（1）（文）当a=1，c＝12时，求出不等式f（x）＜0的解；（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；（4）若f（0）=1，且f（x）≤m2-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）文：当a=1，c＝

1

2

时，f(x)＝x2+bx+

1

2

，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
∵f(

1

2

)＝0，设另一个根为x₂，则

1

2

x2＝

1

2

，∴x₂=1，（2分）
则 f（x）＜0的解为  

1

2

＜x＜1．（4分）
（2）理：f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
设另一个根为x₂，则cx2＝

c

a

∴x2＝

1

a

（2分）
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，则f（x）＜0的解为c＜x＜

1

a

（4分）
（3）f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
设另一个根为x₂，则cx2＝

c

a

∴x2＝

1

a

又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，则三交点为(c，0)，(

1

a

，0)，(0，c)（6分）
这三交点为顶点的三角形的面积为S＝

1

2

(

1

a

?c)c＝8，（7分）
∴a＝

c

16+c2

≤

c

2 16 c

＝

1

8

故a∈(0，  

1

8

]．（10分）
（4）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，
∴f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，（12分）
要使f（x）≤m²-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必须f（x）_max=1≤m²-2km+1成立，（14分）
必m²-2km≥0，令g（k）=-2km+m²，
对所有k∈[-1，1]，g（k）≥0恒成立，只要

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