Question

如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E．（1）求证：∠ABC=∠ADB；（2）若AE=2，ED=4，求

如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E．（1）求证：∠ABC=∠ADB；（2）若AE=2，ED=4，求AB的长；（3）若BD为⊙O的直径，在（2）的条件下，判断AC与BD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴弧AB=弧AC．
∴∠ABC=∠ADB．

（2）解：∵∠ABE=∠ADB，∠BAE=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB．
∴

AE

AB

=

AB

AD

．
∵AE=2，AD=AE+ED=2+4=6，
∴

2

AB

=

AB

6

．
∴AB=2

3

．

（3）解：AC∥BD．理由如下：
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
∵AB=2

3

，AD=6，
∴在Rt△BAD中，tan∠BDA=

AB

AD

=

3

3

．
∴∠BDA=30°．
∴∠ACB=30°．
∴∠ACB=∠ABC=30°．
∴∠BAC=120°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°．
∴∠CAD=∠BDA．
∴AC∥BD．