Question

（2012?安徽）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设

（2012?安徽）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是______（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

解：如右图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S₁+S₃=

1

2

矩形ABCD面积；
同理可得出S₂+S₄=

1

2

矩形ABCD面积；
∴S₂+S₄=S₁+S₃（故②正确）；
当点P在矩形的两条对角线的交点时，S₁+S₂=S₃+S₄．但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立．（故①不一定正确）；
③若S₃=2S₁，只能得出△APD与△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；（故③错误）；
④若S₁=S₂，

1

2

×PF×AD=

1

2

PE×AB，
∴△APD与△PBA高度之比为：

PF

PE

=

AB

AD

，
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似，
∴

PF

CD

=

PE

BC

，
∴P点在矩形的对角线上．（故④选项正确）
故答案为：②和④．