已知函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,x∈R,a,b为常数.(1)若函数f(x)在x=1处有极值10,求实数a,b的值;
已知函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,x∈R,a,b为常数.(1)若函数f(x)在x=1处有极值10,求实数a,b的值;(2)若a=0,(I)方程f(x)=2在x∈...
已知函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,x∈R,a,b为常数.(1)若函数f(x)在x=1处有极值10,求实数a,b的值;(2)若a=0,(I)方程f(x)=2在x∈[-4,4]上恰有3个不相等的实数解,求实数b的取值范围;(II)不等式f(x)+2b≥0对?x∈[1,4]恒成立,求实数b的取值范围.
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(1)对函数求导可得,f′(x)=3x2-2ax-b
由题意可得,f′(1)=0,f(1)=10(2分)
∴3-2a-b=0,1-a-b+a2=10
∴a=3,b=-3或a=-4,b=11(4分)
经检验a=3,b=-3不合题意,舍去
∴a=-4,b=11(5分)
(2)(I)由f(x)=2,得f(x)-2=0,令g(x)=f(x)-2=x3-bx-2,
则方程g(x)=0在x∈[-4,4]上恰有3个不相等的实数解.
∵g’(x)=3x2-b,
(ⅰ)若b≤0,则g’(x)≥0恒成立,且函数g(x)不为常函数,
∴g(x)在区间[-4,4]上为增函数,不合题意,舍去. (6分)
(ⅱ)若b>0,则函数g(x)在区间(-∞,-
)上为增函数,在区间(-
,
)上为减函数,在区间(
,+∞)上为增函数,
由方程g(x)=0在x∈[-4,4]上恰有3个不相等的实数解,可得
由题意可得,f′(1)=0,f(1)=10(2分)
∴3-2a-b=0,1-a-b+a2=10
∴a=3,b=-3或a=-4,b=11(4分)
经检验a=3,b=-3不合题意,舍去
∴a=-4,b=11(5分)
(2)(I)由f(x)=2,得f(x)-2=0,令g(x)=f(x)-2=x3-bx-2,
则方程g(x)=0在x∈[-4,4]上恰有3个不相等的实数解.
∵g’(x)=3x2-b,
(ⅰ)若b≤0,则g’(x)≥0恒成立,且函数g(x)不为常函数,
∴g(x)在区间[-4,4]上为增函数,不合题意,舍去. (6分)
(ⅱ)若b>0,则函数g(x)在区间(-∞,-
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