Question

已知双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F2，F2在C的两条渐近线上的射影分别为P、Q，O是坐标原

已知双曲线C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F2，F2在C的两条渐近线上的射影分别为P、Q，O是坐标原点，且四边形OPF2Q是边长为2的正方形．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过F2的直线l交C于A、B两点，线段AB的中点为M，问|MA|=|MB|=|MO|是否能成立？若成立，求直线l的方程；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）依题意知C的两条渐近线相互垂直，且F₂到其中一条渐近线的距离为2，
∴

b a ×(? b a )＝?1 bc a2+b2 ＝2

，∴

a＝2 b＝2

故双曲线C的方程为

x2

4

?

y2

4

＝1．                              …（5分）
（Ⅱ）这样的直线不存在，证明如下：…（7分）
当直线l的斜率不存在时，结论不成立                         …（8分）
当直线l斜率存在时，设其方程为y＝k(x?2

2

)，并设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
由|MA|=|MB|=|MO|知

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