Question

（2014?安徽模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半

（2014?安徽模拟）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A、B，过F与直线l1垂直的直线l2与椭圆交于C、D，与直线l2：x=4交于P．①求四边形ABCD面积的最小值；②求证：直线PA，PF，PB的斜率kPA，kPF，kPB成等差数列．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，
∴

a2?b2

a2

=

1

4

，∴a²=

4

3

b²，
∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切．
∴b=

6

12+(?1)2

=

3

，
∴a²=4，b²=3
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1；
（Ⅱ）①斜率不存在时，方程为x=1，
代入椭圆方程可得y=±

3

2

，
∴|AB|=3，|CD|=2a=4，
∴四边形ABCD面积为

1

2

×3×4=6；
斜率不为0时，方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂