设函数f(x)=lnx+ex,g(x)=ex+12x2-ax(a∈R)(e=2.71828…是自然对数的底数)(1)当a=32,设F(x)
设函数f(x)=lnx+ex,g(x)=ex+12x2-ax(a∈R)(e=2.71828…是自然对数的底数)(1)当a=32,设F(x)=f(x)-g(x),求F(x)...
设函数f(x)=lnx+ex,g(x)=ex+12x2-ax(a∈R)(e=2.71828…是自然对数的底数)(1)当a=32,设F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的单调区间;(2)定义:若函数φ(x)在定义域为[m,n](m<n)上的值域为[m,n],则称区间[m,n]为函数φ(x)的“同域区间”,在(1)的条件下,证明:函数F(x)在区间(0,2)内存在“同域区间”;(3)当a>1时,对于区间(2,3)内任意两个不相等的实数x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|成立,求a的取值范围.
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(1)当a=
,设F(x)=f(x)-g(x)=lnx-
x2+
x,
则F(x)的定义域为(0,+∞),
则F′(x)=
-x+
=?
,
由F′(x)>0,解得0<x<2,此时函数单调递增.
F′(x)<0,解得x>2,此时函数单调递减.
(2)设F(x)=lnx-
x2+
x的定义域为[m,n],假设存在“同域区间”,
则由(1)知,F(x)在区间(0,2)上单调递增,
即
,则
,
也就是方程lnx-
x2+
=x在区间(0,2)上存在两个相异的实根,
即2lnx-x2+x=0在区间(0,2)上存在两个相异的实根,
即T(x)=2lnx-x2+x,则T′(x)=
-2x+1单调递减,
当x∈(0,2)时,T′(x)=
-2x+1<0,
设m(x)=T′(x)=
-2x+1,
则m(
)=2e+1-
>0,m(2)=-2<0,即在区间(
,2)上必存在唯一的点x0∈(
,2)使m(x0)=0,
当x∈(
,x0),m(x)>0,此时函数m(x)单调递增,
当x∈(x0,2),m(x)<0,此时函数m(x)单调递减,
T(
)=
<0,
∵m(1)=1>0,∴x0>1,即T(x)在(1,x0)上递增,
T(x0)>T(1)=0,T(2)=2ln2-4+2=2ln2-2=2(ln2-1)<0,
∴T(x)=2lnx-x2+x,在区间(
,2)上有两个不相等的解,
即方程2lnx-x2+x=0在区间(
,2)上有两个不相等的实根,
从而函数F(x)在区间(0,2)内存在“同域区间”;
(3)不妨设2<x1<x2<3,则f(x)=lnx+ex,在区间(2,3)上单调递增,
则有|f(x1)-f(x2)|=f(x2)-f(x1),
∴|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|等价为|g(x1)-g(x2)|<f(x2)-f(x1),
则f(x1)-f(x2)<|g(x1)-g(x2)|<f(x2)-f(x1),
即f(x1)-g(x1)<f(x2)-g(x2)且g(x1)+f(x1)<g(x2)+f(x2)恒成立,
从而f(x)-g(x)在(2,3)上单调递增,求f(x)+g(x)在(2,3)上单调递增,
即[f(x)-g(x)]′>0,[f(x)+g(x)]′>0,
∴命题等价为当x∈(2,3)下
恒成立,
即
,解得
≤a≤
+2e2.
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
则F(x)的定义域为(0,+∞),
则F′(x)=
1 |
x |
3 |
2 |
(2x+1)(x?2) |
2x |
由F′(x)>0,解得0<x<2,此时函数单调递增.
F′(x)<0,解得x>2,此时函数单调递减.
(2)设F(x)=lnx-
1 |
2 |
3 |
2 |
则由(1)知,F(x)在区间(0,2)上单调递增,
即
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|
也就是方程lnx-
1 |
2 |
3 |
2 |
即2lnx-x2+x=0在区间(0,2)上存在两个相异的实根,
即T(x)=2lnx-x2+x,则T′(x)=
2 |
x |
当x∈(0,2)时,T′(x)=
2 |
x |
设m(x)=T′(x)=
2 |
x |
则m(
1 |
e |
2 |
e |
1 |
e |
1 |
e |
当x∈(
1 |
e |
当x∈(x0,2),m(x)<0,此时函数m(x)单调递减,
T(
1 |
e |
e(?2e+1)?1 |
e2 |
∵m(1)=1>0,∴x0>1,即T(x)在(1,x0)上递增,
T(x0)>T(1)=0,T(2)=2ln2-4+2=2ln2-2=2(ln2-1)<0,
∴T(x)=2lnx-x2+x,在区间(
1 |
e |
即方程2lnx-x2+x=0在区间(
1 |
e |
从而函数F(x)在区间(0,2)内存在“同域区间”;
(3)不妨设2<x1<x2<3,则f(x)=lnx+ex,在区间(2,3)上单调递增,
则有|f(x1)-f(x2)|=f(x2)-f(x1),
∴|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|等价为|g(x1)-g(x2)|<f(x2)-f(x1),
则f(x1)-f(x2)<|g(x1)-g(x2)|<f(x2)-f(x1),
即f(x1)-g(x1)<f(x2)-g(x2)且g(x1)+f(x1)<g(x2)+f(x2)恒成立,
从而f(x)-g(x)在(2,3)上单调递增,求f(x)+g(x)在(2,3)上单调递增,
即[f(x)-g(x)]′>0,[f(x)+g(x)]′>0,
∴命题等价为当x∈(2,3)下
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即
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