Question

一道线性代数矩阵的世界级难题，求大神破解，急急急！！！重赏，本人彻夜难眠望有神来解救

A=a 1 1 1 1 1 1 ......1

0 a 1 1 1 1 1 ......1
0 0 a 1 1 1 1......1
按此规律最后一行为
0 0 0 0 0 0 0 ......a
这是一个n阶的矩阵

求A的n次方的矩阵是什么？？？？？？

Answer 1

令J是0对应的Jordan块，即J=
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
那么A=aI+J+J^2+...+J^{n-1}=(a-1)I+(I-J)^{-1}
用二项式定理展开A^n=sum_k (n choose k) (a-1)^{n-k}I (I-J)^{-k}
再用Taylor公式展开(I-J)^{-k}=sum_j (-k choose j)(-1)^j J^j
然后按j整理一下就行了，你自己去算吧

追问

A=aI+J+J^2+...+J^{n-1}=(a-1)I+(I-J)^{-1}，这个是怎么来的，我们没学可逆矩阵啊，能不能不这样解？

追答

那就等学过可逆矩阵了再回来解世界级难题