Question

已知x+y=10,求xy的最大值

Answer 1

∵x+y=10,
∴x=10-y,
∴xy=y（10-y）=-y²+10y=-(y-5)²+25
∵-(y-5)²≤0

所以xy最大值为25

Answer 2

本文介绍当x^2+y^2=6时，用通过三种方法求x+y和四种方法求xy的取值范围思路即方法步骤。
解：先求x+y的最值问题。
思路一：设x+y=k，代入已知方程，得到关于x的一元二次方程，方程有实数根，则有判别式≥0,求得k的取值范围。
x^2+(k-x)^2=6
x^2+k^2-2kx+x^2=6
2x^2-2kx+k^2-6=0
判别式△=4k^2-8(k^2-6)≥0
-4k^2≥-8*6
k^2≤12，即：-2√3≤k≤2√3.
所以x+y的最大值为2√3，最大值为-2√3。
思路二：利用三角函数换元，求得x+y的最大值。
由x^2+y^2=6，设x=√6cost，y=√6sint，则：
x+y=√6cost+√6sint
=√12(sint+π/4).
当(sint+π/4)=1时，x+y有最大值=2√3；
当(sint+π/4)=-1时，x+y有最小值=-2√3；
思路三：不等式法
∵x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2
∴(x+y)^2≤2(x^2+y^2)
即：
(x+y)^2≤12，则：
-2√3≤x+y≤2√3.
此时x+y的最小值=-2√3，最大值=2√3。
下面求xy的最值。
思路一：直接根据已知条件，替换y，得到关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。
xy
=x√(6-x^2)
=±√[x^2(6-x^2)]
=±√[(6^2/4)-(x^4-6x^2+6^2/4)]
=±√[(6^2/4)-(x^2-3)^2].
则xy的最大值为3,最小值为-3.
思路二：换元法，设xy=p，得到y=p/x,代入已知条件关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。
x^2+y^2=6
x^2+p^2/x^2=6
x^4-6x^2+p^2=0
判别式△=6^2-4p^2≥0,即：
p^2≤6^2/4
-3≤p≤3
此时得xy=p的最大值=3，最小值=-3.
思路三：三角换元法，将xy表示成三角函数，进而得xy的取值范围。
由x^2+y^2=6，设x=√6cost，y=√6sint，则：
xy=√6cost*√6sint
=6*(1/2)sin2t
=3sin2t
当sin2t=1时，x+y有最大值=3；
当sin2t=-1时，x+y有最小值=-3.
思路四：不等式法。
∵x^2+y^2≥2√(x^2*y^2)=2|xy|
∴|xy|≤(x^2+y^2)/2=3
即：-3≤xy≤3.
则xy的最大值为3,最小值为-3.