Question

已知二次函数y=a(x-m) 2 -2a(x-m)（a,m为常数，且a≠0）.（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴

已知二次函数y=a(x-m) 2 -2a(x-m)（a,m为常数，且a≠0）.（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．

Answer 1

（1）见解析；（2） .

试题分析：(1)二次函数和x轴有两个交点，判别式>0即可； （2）先求出顶点坐标，由△ABC是等腰直角三角形，可以得出AB边上高等于1，即可得出a的值. 试题解析： （1）证明：y=a(x-m) 2 -2a(x-m)=ax 2 -(2am+2a)x+am 2 +2am 当a≠0时, =（2am+2a） 2 -4a(am 2 +2am) ∵ ∴ ∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）y=a(x-m) 2 -2a(x-m)=a(x-m-1) 2 -a ∴C(m+1,-a) 当y=0时， 解得x 1 =m，x 2 =m+2. ∴AB=（m+2）-m=2. 当△ABC是等腰直角三角形时，可求出AB边上高等于1． ∴ ． ∴ ．