Question

（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠ACB=90°．BC=CC 1 = a ，AC=2 a ．（I）求证

（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠ACB=90°．BC=CC 1 = a ，AC=2 a ．（I）求证：AB 1 ⊥BC 1 ；（II）求二面角B—AB 1 —C的大小；（III）求点A 1 到平面AB 1 C的距离．

Answer 1

（1）略 （2） （3）

（1）证明：∵ABC—A 1 B 1 C 1 是直三棱柱， ∴CC 1 ⊥平面ABC， ∴AC⊥CC 1 ． ∵AC⊥BC， ∴AC⊥平面B 1 BCC 1 ． ∴B 1 C是AB 1 在平面B 1 BCC 1 上的射影． ∵BC=CC 1 ， ∴四边形B 1 BCC 1 是正方形， ∴BC 1 ⊥B 1 C． 根据三垂线定理得， AB 1 ⊥BC 1 ．………………5分 （2）解：设BC 1 ∩B 1 C=O，作OP⊥AB 1 于点P， 连结BP．∵BO⊥AC，且BO⊥B 1 C， ∴BO⊥平面AB 1 C． ∴OP是BP在平面AB 1 C上的射影． 根据三垂线定理得，AB 1 ⊥BP． ∴∠OPB是二面角B—AB 1 —C的平面角．…………8分 ∵△OPB 1 ~△ACB 1 ， ∴  ∴ 在Rt△POB中， ， ∴二面角B—AB 1 —C的大小为 …………10分 （3）解：[解法1] ∵A 1 C 1 //AC，A 1 C 1 平面AB 1 C， ∴A 1 C 1 //平面AB 1 C． ∴点A 1 到平面AB 1 C的距离与点C 1 到平面AB 1 C．的距离相等． ∵BC 1 ⊥平面AB 1 C，  ∴线段C 1 O的长度为点A 1 到平面AB 1 C的距离． ∴点A 1 到平面AB 1 C的距离为 …………14分 [解法2]连结A 1 C，有 ，设点A 1 到平面AB 1 C的距离为h． ∵B 1 C 1 ⊥平面ACC 1 A 1 ， ∴ ， 又 ， ∴   ∴点A 1 到平面AB 1 C的距离为 …………14分