Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（1）求an（2）设bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（1）求an（2）设bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由已知得

4a1+6d＝8a1+4d a1+(2n?1)d＝2a1+2(n?1)d+1

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵b_n=2ⁿa_n=（2n-1）?2ⁿ，
∴T_n=1?2+3?2²+5?2³+…+（2n-1）?2ⁿ，①
2T_n=1?2²+3?2³+5?2⁴+…+（2n-1）?2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）?2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-2-2（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=（2n-3）?2ⁿ⁺¹+6．