如图，△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．（1）求证：BD
如图，△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）AB与DF有何位置关系？请...
如图，△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）AB与DF有何位置关系？请说明理由；（3）求：DFAD的值．
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（1）证明：∵∠ACD=90°，CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠CAD+∠CDA=90°，∠CDE+∠BCF=90°，
∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，∠ACB=90°，
∴∠CBF=90°=∠ACD，
在△ACD和△CBF中
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴BD=BF；
（2）解：AB垂直平分DF，
理由是：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵∠CBF=90°，
∴∠FBA=45°=∠CBA，
∵BD=BF，
∴AB垂直平分DF；
（3）解：设CD=BD=BF=x，
则AC=BC=2x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=
=
x，
在Rt△DBF中，由勾股定理得：DF=
=
x，
则
=
∴∠CED=90°，
∴∠CAD+∠CDA=90°，∠CDE+∠BCF=90°，
∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，∠ACB=90°，
∴∠CBF=90°=∠ACD，
在△ACD和△CBF中
|
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴BD=BF；
（2）解：AB垂直平分DF，
理由是：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵∠CBF=90°，
∴∠FBA=45°=∠CBA，
∵BD=BF，
∴AB垂直平分DF；
（3）解：设CD=BD=BF=x，
则AC=BC=2x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=
| (2x)2+x2 |
| 5 |
在Rt△DBF中，由勾股定理得：DF=
| x2+x2 |
| 2 |
则
| DF |
| AD |
| ||
|
