Question

已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）当a=1，且x≥1时，证明：f

已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）当a=1，且x≥1时，证明：f（x）≤1．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，
所以f′(x)＝

1?lnx?a

x 2

．
令f'（x）=0，得x=e^1-a．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，e1-a）	e1-a	（e1-a，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

-------（5分）
由表可知：f（x）的单调递增区间是（0，e^1-a），单调递减区间是（e^1-a，+∞）．
所以f（x）在x=e^1-a处取得极大值，f(x)极大值＝f(e1?a)＝ea?1．
（Ⅱ）当a=1，f(x)＝

lnx+1

x

，
令g(x)＝f(x)?1＝

lnx+1

x

?1，（x≥1），
∴g′(x)＝?

lnx

x2

≤0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤1．