Question

（2011?湖北）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上

（2011?湖北）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE=22，BF=2．（I） 求证：CF⊥C1E；（II） 求二面角E-CF-C1的大小．

Answer 1

（I）由已知可得CC₁=3

2

，CE=C₁F=2

3

，
EF²=AB²+（AE-BF）²，EF=C₁E=

6

，
于是有EF²+C₁E²=C₁F²，CE²+C₁E²=C₁C²，
所以EF⊥C₁E，C₁E⊥CE．又EF∩CE=E，
所以C₁E⊥平面CEF
由CF?平面CEF，故CF⊥C₁E；
（II）在△CEF中，由（I）可得EF=CF=

6

，CE=2

3

，
于是有EF²+CF²=CE²，所以CF⊥EF，
又由（I）知CF⊥C₁E，且EF∩C₁E=E，所以CF⊥平面C₁EF
又C₁F?平面C₁EF，故CF⊥C₁F
于是∠EFC₁即为二面角E-CF-C₁的平面角
由（I）知△C₁EF是等腰直角三角形，所以∠EFC₁=45°，即所求二面角E-CF-C₁的大小为45°